$\mathbf{\text{Latihan Soal dan Pembahasan Persamaan Kuadrat}}$ 


$\mathbf{\text{Latihan Dasar}}$ 

Soal 1: Tentukan akar persamaan  

$$x^2-3x-4=0.$$ 

Pembahasan 1 

Faktorkan: 

$$x^2-3x-4=(x-4)(x+1)=0$$ 

Maka 

$$x=4,x=-1.$$ 


Soal 2: Tentukan akar persamaan  

$$2x^2+x-3=0.$$ 

Pembahasan 2: 

Gunakan Rumus ABC: 

$$D=1^2-4\cdot 2\cdot (-3)=1+24=25$$ 

$$x=\frac{-1\pm 5}{4}⟹x=1,x=-\frac{3}{2}.$$ 


$\mathbf{\text{Latihan Menengah}}$ 

Soal 3: Cari nilai $k$ sehingga 

$$x^2-2(k+1)x+k=0$$ 

memiliki akar kembar. 

Pembahasan 3:  

Syarat $D=0$: 

$$D=[-2(k+1){]}^2-4\cdot 1\cdot k=4(k+1{)}^2-4k=0$$ 

$$(k+1{)}^2-k=0⟹k^2+2k+1-k=0⟹k^2+k+1=0$$ 

Tidak ada solusi real karena diskriminan negatif. 


Soal 4: Jika akar-akar persamaan monik 

$$x^2+bx+6=0$$ 

berjumlah 5, tentukan $b$. 

Pembahasan 4: 

Sum of roots $x_1+x_2=-b=5$,  maka 

$$b=-5.$$ 


$\mathbf{\text{Latihan Soal Sulit}}$ 

Soal 5: Tentukan rentang $k$ sehingga 

$$x^2-2kx+k+3=0$$ 

memiliki dua akar real positif. 

Pembahasan 5: 

Syarat real: 

$$D=4k^2-4(k+3)\ge 0⟹k^2-(k+3)\ge 0⟹k^2-k-3\ge 0.$$ 

Syarat $x_{1,2}>0$: 

$$x_1+x_2=2k>0,x_1{x}_2=k+3>0.$$ 

Akhirnya rentangnya $k\in (-\mathrm{\infty },\alpha ]\cup [\beta ,\mathrm{\infty })$ dengan $\alpha ,\beta$ akar $k^2-k-3=0$; dan $k>-3,k>0$. 


Soal 6: Untuk $(k-1)x^2+(k+2)x+3=0$, diketahui salah satu akar $x=1$. Cari $k$ dan akar kedua. 

Pembahasan 6: 

Substitusi $x=1$: 

$$(k-1)+(k+2)+3=0⟹2k+4=0⟹k=-2.$$ 

Masukkan $k=-2$: 

$$(-3)x^2+0\cdot x+3=0⟹x^2=1⟹x=\pm 1.$$ 

Akar lain: $x=-1$.


$\mathbf{\text{Latihan Soal Menantang}}$ 

Soal 7: Cari $k$ sehingga kedua akar 

$$x^2-(k+2)x+k=0$$ 

terletak di interval $(0,1)$. 

Pembahasan 7:
 
Syarat: 

$$x_1+x_2=k+2\in (0,2),x_1{x}_2=k\in (0,1),D\ge 0.$$ 

Solusi diperoleh melalui sistem ketidaksamaan ini. 


Soal 8: Persamaan 

$$x^2-4x+m=0$$ 

memiliki akar $x_1,x_2$ yang memenuhi 

$$x_1^2+x_2^2=10.$$ 

Tentukan $m$. 

Pembahasan 8:  

Gunakan  

$$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2{)}^2-2x_1{x}_2=4^2-2m=16-2m=10$$  

$$16-2m=10⟹m=3.$$  

 

Topik terkait: