$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Hubungan Koefisien dan Akar Persamaan Kuadrat}}$  

Untuk persamaan kuadrat  

$$
a\,x^2 + b\,x + c = 0,
\quad a\neq0,
$$  

akar-akarnya $x_1,x_2$ memenuhi hubungan Vieta:  

$$
x_1 + x_2 = -\frac{b}{a},
\quad
x_1\,x_2 = \frac{c}{a}.
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 1}}$  

Soal: Hitung jumlah dan hasil kali akar persamaan  

$$
2x^2 - 7x + 3 = 0.
$$  

Solusi:  

$$
x_1 + x_2 = -\frac{-7}{2} = \frac{7}{2},
\quad
x_1 x_2 = \frac{3}{2}.
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 2}}$  

Soal: Tentukan persamaan kuadrat dengan akar $3$ dan $-5$.  

Solusi:  

Sum $=3+(-5)=-2$, product $=3\cdot(-5)=-15$.  

Pilih $a=1$, sehingga  

$$
x^2 - (x_1+x_2)x + x_1x_2 = 0
\;\Longrightarrow\;
x^2 + 2x - 15 = 0.
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 3}}$  

Soal: Jika akar-akar $x_1,x_2$ memenuhi $\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} = 4$, dan persamaan adalah monik ($a=1$), cari $b,c$.  

Solusi:  

$$
\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2}
= \frac{x_1 + x_2}{x_1 x_2}
= 4.
$$

Tetapkan $x_1+x_2 = S$, $x_1x_2 = P$, maka $S/P =4$. Dari Vieta:  

$$
S = -b,\quad P = c.
$$  

Maka $-b/c = 4 \;\Longrightarrow\; b = -4c$.  

Contoh pilih $c=1$:  

$$
b = -4,\quad a=1
\;\Longrightarrow\;
x^2 - 4x + 1 = 0.
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 4}}$  

Soal: Persamaan $ax^2 + bx + c=0$ (monik) memiliki akar berbanding $2:3$. Jika salah satu akar adalah $2$, tentukan persamaan lengkap.  

Solusi:  

Misal $x_1=2$, $x_2 = \tfrac{3}{2}x_1 = 3$.  

Sum $S=2+3=5$, product $P=2\cdot3=6$.  

Persamaan:  

$$
x^2 - Sx + P = 0
\;\Longrightarrow\;
x^2 - 5x + 6 = 0.
$$  


Topik terkait: