$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Aplikasi Khusus Persamaan Kuadrat}}$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{1. Nilai Ekstremum Fungsi Kuadrat}}$ 

Untuk $f(x)=ax^2+bx+c$, vertex di 

$$
x_v = -\frac{b}{2a},
\quad
y_v = f(x_v).
$$ 

Jika $a>0$, $f(x_v)$ adalah nilai minimum; jika $a<0$, $f(x_v)$ adalah nilai maksimum. 

Contoh 1.1: 

Tentukan nilai minimum $f(x)=2x^2 - 4x + 3$. 

$$
x_v = -\frac{-4}{2\cdot2} = 1,
\quad
y_v = 2(1)^2 - 4(1) + 3 = 1.
$$ 

Jadi nilai minimum adalah $1$ saat $x=1$. 

Contoh 1.2: Tentukan nilai maksimum $g(x)=-3x^2+12x-5$. 

$$
x_v = -\frac{12}{2\cdot(-3)} = 2,
\quad
y_v = -3(2)^2 +12(2)-5 = 7.
$$ 

Jadi nilai maksimum adalah $7$ saat $x=2$. 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{2. Parameter dalam Koefisien}}$ 

Cari nilai $k$ agar $x^2 + (2k-3)x + (k+1)=0$ memiliki akar kembar ($D=0$): 

$$
D = (2k-3)^2 - 4\cdot1\cdot(k+1) = 4k^2 -12k +9 -4k -4 = 4k^2 -16k +5 = 0.
$$ 

$$
k = \frac{16 \pm \sqrt{256 -80}}{8}
= \frac{16 \pm \sqrt{176}}{8}
= \frac{16 \pm 4\sqrt{11}}{8}
= 2 \pm \tfrac{\sqrt{11}}{2}.
$$ 


Contoh 2.2: Tentukan $k$ agar kedua akar positif pada  

$$
x^2 - (k+1)x + k = 0.
$$  

Syarat:  

$$
D = (k+1)^2 -4k \ge0,
\quad
x_1+x_2 = k+1 >0,
\quad
x_1x_2 = k >0.
$$  

Berdasarkan $k>0$ dan $(k-1)^2\ge0$, syarat terpenuhi untuk $k>0$.  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{3. Soal Geometri Parabola}}$  

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{3.1 Titik Potong Garis dan Parabola}}$  

Temukan titik potong $y=x^2$ dan $y=2x+3$:  

$$
x^2 = 2x +3
\;\Longrightarrow\;
x^2 -2x -3 =0
\;\Longrightarrow\;
(x-3)(x+1)=0.
$$  

$$
x=3,\,-1
\quad\Longrightarrow\quad
y=2(3)+3=9,\;y=2(-1)+3=1.
$$  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{3.2 Titik Potong Parabola dan Garis Lain}}$  

Tentukan irisan $y=x^2-3x+2$ dan $y=-x+1$:  

$$
x^2 -3x +2 = -x+1
\;\Longrightarrow\;
x^2 -2x +1=0
\;\Longrightarrow\;
(x-1)^2=0.
$$  

$$
x=1,\quad y=-1+1=0.
$$  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{3.3 Jarak Titik ke Parabola}}$  

Tentukan titik pada $y=x^2$ yang paling dekat ke $P(1,0)$.  

Minimalkan $d^2=(x-1)^2+(x^2-0)^2 = x^4 + (x-1)^2$.  

$$
\frac{d}{dx}\bigl[x^4 + (x-1)^2\bigr] = 4x^3 + 2(x-1) = 0
\;\Longrightarrow\;
2x^3 + (x-1)=0.
$$  

Selesaikan secara numerik, diperoleh $x\approx0.6823$,  sehingga titik dekat adalah $\bigl(0.6823,\;0.4666\bigr)$.  


Topik terkait: