$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Teorema Binomial}}$ menyatakan bahwa untuk setiap bilangan bulat non‐negatif $n$ dan bilangan real $x,a$,

$$
(x + a)^n \;=\; \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^{\,n-r}\,a^{\,r},
$$

di mana

$$
\binom{n}{r} \;=\; \frac{n!}{r!\,(n-r)!}.
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{1. Bukti Kombinatoris (Intuitif)}}$  

Ekspansi $(x+a)^n$ dapat dibayangkan sebagai hasil kali

$$
(x+a)(x+a)\cdots(x+a)\quad(n\text{ faktor}).
$$  

Untuk mendapatkan suku $x^{n-r}a^r$, kita memilih $r$ faktor $a$ dari $n$ faktor, sisanya $n-r$ faktor $x$. Banyaknya cara memilih adalah $\binom{n}{r}$, sehingga suku tersebut muncul $\binom{n}{r}$ kali.  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{2. Bukti Induksi}}$  

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Basis}}$ ($n=0$):

$$
(x+a)^0 = 1 = \sum_{r=0}^{0} \binom{0}{r}\,x^{0-r}a^r.
$$  

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Hipotesis}}$ (untuk $n$): anggap benar

$$
(x+a)^n = \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^{n-r}a^r.
$$  

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Langkah Induksi}}$ (untuk $n+1$):

$$
(x+a)^{n+1} = (x+a)^n\,(x+a)
= \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^{n-r}a^r\,(x+a).
$$  

Kelompokkan suku menjadi

$$
\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^{n-r+1}a^r
\;+\;
\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^{n-r}a^{r+1}.
$$  

Pada penjumlahan kedua, ubah indeks $s=r+1$:

$$
\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^{n-r+1}a^r
\;+\;
\sum_{s=1}^{n+1} \binom{n}{s-1}\,x^{n-(s-1)}a^{s}.
$$  

Gabungkan menggunakan

$$
\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r},
$$

maka

$$
(x+a)^{n+1} = \sum_{r=0}^{n+1} \binom{n+1}{r}\,x^{n+1-r}a^r.
$$  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{3. Suku Umum}}$  

Suku ke-$(r+1)$ dalam ekspansi $(x+a)^n$ adalah

$$
\binom{n}{r}\,x^{n-r}\,a^r,
\quad r=0,1,\dots,n.
$$  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{4. Contoh Illustratif}}$  

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{(a)}}\,(x + 2)^4$

$$
(x+2)^4
= \sum_{r=0}^{4} \binom{4}{r}\,x^{4-r}\,2^r
= x^4 + 8x^3 + 24x^2 + 32x + 16.
$$

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{(b)}}\,(1+1)^5$

$$
(1+1)^5 = \sum_{r=0}^{5} \binom{5}{r}
= 2^5 = 32.
$$

$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{(c)}}\,(x - a)^3$

$$
(x-a)^3
= \sum_{r=0}^{3} \binom{3}{r}\,x^{3-r}(-a)^r
= x^3 - 3x^2a + 3xa^2 - a^3.
$$  


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{5. Sifat Tambahan}}$

$$
\sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r} = 2^n,
\qquad
\sum_{r=0}^{n} (-1)^r \binom{n}{r} = 0
\quad(n\ge1).
$$