$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Persamaan Lingkaran}}$ 

Lingkaran adalah kumpulan semua titik di bidang yang berjarak sama dari titik pusat $(a,b)$. Jika jari-jarinya $r$, maka setiap titik $(x,y)$ pada lingkaran memenuhi persamaan berikut.

Jarak antar titik $(x,y)$ dan titik pusat $(a,b)$ adalah 

$$
\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}
$$

Karena jarak ini sama dengan $r$, maka 

$$
\sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2} = r
$$

Kuadratkan kedua ruas untuk menghilangkan akar: 

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
$$

Inilah persamaan umum lingkaran dengan pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$.


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 1}}$ 

Pusat di $(0,0)$, $r = 5$ 

$$
(x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 5^2
$$

$$
x^2 + y^2 = 25
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 2}}$ 

Pusat di $(3,-2)$, $r = 4$ 

$$
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 4^2
$$

$$
(x - 3)^2 + (y + 2)^2 = 16
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Dari Bentuk Umum ke Pusat & Jari-jari}}$ 

Kadang persamaan lingkaran diberikan sebagai

$$
x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0
$$

Untuk mengekstrak pusat $(a,b)$ dan jari-jari $r$, lakukan melengkapkan kuadrat:

Kelompokkan suku-suku $x$ dan $y$:

$$
(x^2 + D\,x) + (y^2 + E\,y) = -F
$$

Tambahkan dan kurangkan $\bigl(\tfrac{D}{2}\bigr)^2$ pada kelompok $x$, serta $\bigl(\tfrac{E}{2}\bigr)^2$ pada kelompok $y$, kemudian faktorkan menjadi:

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh 3}}$ 

Temukan pusat & jari-jari dari 

$$
x^2 + y^2 - 4x + 6y - 12 = 0
$$

Langkah 1: Kelompokkan 

$$
(x^2 - 4x) + (y^2 + 6y) = 12
$$

Langkah 2: Lengkapi kuadrat  

Untuk suku $x$: tambahkan dan kurangkan $\bigl(\tfrac{-4}{2}\bigr)^2 = 4$  

Untuk suku $y$: tambahkan dan kurangkan $\bigl(\tfrac{6}{2}\bigr)^2 = 9$  

$$
(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 6y + 9) - 9 = 12
$$

Ringkas menjadi:  

$$
(x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 25
$$

Hasil:  

Pusat lingkaran: $(2, -3)$  

Jari-jari: $\sqrt{25} = 5$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Kesimpulan}}$  

$$
(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2
$$

lahir langsung dari definisi jarak di bidang datar.

Bentuk umum

$$
x^2 + y^2 + D\,x + E\,y + F = 0
$$

dapat diubah menjadi bentuk pusat–jari melalui melengkapkan kuadrat, sehingga materi ini menjadi lebih intuitif dan mudah diingat.