$\mathbf{\text{Peluang Bersyarat (Conditional Probability)}}$ 

Peluang bersyarat didefinisikan sebagai 

$$P(A\mid B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)},P(B)>0.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 1}}$ 

Soal: Suatu kartu diambil dari setumpuk 52 kartu. Hitung $P(\text{As}\mid \text{Merah})$. 

Solusi: Ada 26 kartu merah dan 2 As merah. 

$$P(\text{As}\mid \text{Merah})=\frac{P(\text{As}\cap \text{Merah})}{P(\text{Merah})}=\frac{\frac{2}{52}}{\frac{26}{52}}=\frac{2}{26}=\frac{1}{13}.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 2}}$ 

Soal: Dua dadu fair dilempar bersamaan. Hitung $P(\text{jumlah}=8\mid \text{dadu pertama}=3)$. 

Solusi: Himpunan hasil ketika dadu pertama = 3 adalah $\{(3,1),(3,2),\dots ,(3,6)\}$, total 6 kemungkinan. Hanya satu yang jumlahnya 8, yaitu $(3,5)$. 

$$P(\text{jumlah}=8\mid \text{dadu pertama}=3)=\frac{1}{6}.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 3}}$ 

Soal: Dalam sebuah urn berisi 5 bola merah dan 7 bola biru, diambil dua bola tanpa pengembalian. Hitung $P(\text{bola ke-2 merah}\mid \text{bola ke-1 biru})$. 

Solusi: Jika bola pertama biru, tersisa 5 merah dan 6 biru (total 11). 

$$P(\text{ke-2 merah}\mid \text{ke-1 biru})=\frac{5}{11}.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 4}}$ 

Soal: Sebuah tes medis memiliki sensitivitas 95\% dan spesifisitas 90%. Prevalensi penyakit di populasi adalah 2%. Hitung $P(\text{penyakit}\mid \text{tes positif})$. 

Solusi:  

Gunakan Teorema Bayes:  

$$P(D\mid +)=\frac{P(+\mid D)P(D)}{P(+\mid D)P(D)+P(+\mid \mathrm{\neg }D)P(\mathrm{\neg }D)}.$$  

Masukkan nilai:  

$P(+\mid D)=0.95,P(D)=0.02,P(+\mid \mathrm{\neg }D)=0.10,P(\mathrm{\neg }D)=0.98$.  

$$P(D\mid +)=\frac{0.95\times 0.02}{0.95\times 0.02+0.10\times 0.98}=\frac{0.019}{0.019+0.098}=\frac{0.019}{0.117}\approx 0.162.$$  

Jadi peluang sebenarnya pasien sakit setelah hasil positif hanyalah sekitar 16.2%.