Gerak Parabola

November 29, 2020
Kali ini kita akan meninjau gerak dalam ruang 2D yang dikenal dengan gerak parabola. 

Tinjau, bola basket mula-mula berada di titik $O(x_0,y_0)$. Bola itu lalu dilemparkan dengan dengan kecepatan awal $\vec{v_0}$ pada arah $\theta_0$ terhadap  horizontal (sumbu $x$). Bola itu diketahui berada dalam pengaruh medan gravitasi sedemikian sehingga mendapatkan percepatan sebesar $g$ pada arah $y$ negatif sepanjang waktu. Hambatan udara diabaikan. Sebagai ilustrasi, tinjau gambar berikut:

GP1Tr.png 80.4 KB



Komponen gerak

Kecepatan $v$ adalah suatu besaran vektor. Dalam ruang 2D kita dapat nyatakan $\vec v$ ke dalam dua komponen kecepatan sesuai dengan arah vektor satuan atau vektor basis yang kita pilih. Sebagai contoh di sini kita nyatakan kecepatan $\vec v$ ke dalam komponen $\vec x$ dan komponen $\vec y$ yaitu:

  $$ \vec v = v_x\widehat{i}+ v_y\widehat{j}  \tag{1}\label{eq1} $$

Dalam persamaan \eqref{eq1}, $\widehat{i}$ dan  $\widehat{j}$ menyatakan vektor satuan (atau disebut juga basis vektor) sementara $v_x$ dan $v_y$ menyatakan besar komponen kecepatan masing-masing dalam arah $x$ dan $y$. Selanjutnya akan kita tinjau bagaimana $v_x$ dan $v_y$ berubah seiring waktu dan konsekuensi yang mengikutinya.



Arah-$\boldsymbol{y}$

Dalam arah $y$ komponen kecepatan awal dari bola tersebut dinyatakan sebagai;

  $$v_{0y} = v_0 \sin \theta$$

Diketahui ada pengaruh gaya eksternal yang memberikan percepatan pada bola tersebut pada arah $y$ negatif sebesar $g$.  Kecepatan bola tersebut pada arah $y$ dapat kita tuliskan

  $$v_{y} (t) = v_0 \sin \theta - gt  \tag{2}\label{eq2} $$


Maka tinjuan gerak dari bola tersebut pada sumbu $y$ tidak lain adalah Gerak 1 dimensi dibawah pengaruh gravitasi [1]. Di sini bola mula-mula bergerak ke arah atas ($y$ positif) dan kecepatan $v_y$ diperlambat sebesar $g$. Pada saat  $v_y = 0$, ketinggian maksimum $H$ tercapai. Kita sebut waktu dimana ketinggian maksimum tercapai sebagai $t_H$. Dari persamaan \eqref{eq2} kita peroleh:


  $$\begin{align}
v_0 \sin \theta_0 - gt_H &= 0\\
\\
v_0 \sin \theta_0 &= gt_H
\end{align}$$

  $$t_{H} = \frac{v_0 \sin \theta_0}{g}  \tag{3}\label{eq3} $$

Dari sini, bola yang semula bergerak ke arah atas ($y$ positif) selanjutnya akan bergerak ke arah $y$ negatif dan mencapai ketinggian awal dalam waktu $t_H$ pula (waktu naik = waktu turun).  Menggunakan informasi ini kita dapat menghitung jarak maksimum yang ditempuh objek tersebut pada arah $x$.


Ketinggian dari objek tersebut sebagai fungsi dari waktu diberikan oleh:

  $$y(t)=\int v_y(t) dt =  \int  (v_0 \sin \theta_0 - gt)\, dt$$
   
  $$y= (v_0 \sin \theta_0) t -\frac{1}{2} gt^2  + y_0 \tag{4}\label{eq4} $$

dengan $y_0=$ posisi awal benda (misalnya diambil $y_0=0$)


Perhatikan, kita dapat memperoleh hasil pada persamaan \eqref{eq3} dari  persamaan \eqref{eq4} melalui aplikasi turunan untuk mencari nilai maksimum/minimum [2]. Selanjutnya kita hitung ketinggian maksimum $H$ yang dapat dicapai sebagai berikut:

  $$\begin{align}
H &= (v_0 \sin \theta_0) t_H -\frac{1}{2} g{t_H}^2  + y_0\\
\\
&=(v_0 \sin \theta_0) \left( \frac{v_0 \sin \theta_0}{g} \right) -\frac{1}{2} g \left( \frac{v_0 \sin \theta_0}{g} \right)^2  + y_0\\
\\
&=  \left( \frac{{v_0}^2\, \sin^2 \theta_0}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{{v_0}^2\, \sin^2 \theta_0}{g^{2}} \right) +y_0
\end{align}$$


  $$H =y_0  + \frac{{v_0}^2 \, \sin^2 \theta_0}{2g}  \tag{5}\label{eq5} $$



Arah-$\boldsymbol{x}$

Dalam arah $x$ komponen kecepatan awal dari bola tersebut dinyatakan sebagai;

  $$v_{0x} = v_0 \cos \theta_0$$

Karena tidak ada pengaruh gaya eksternal maka kecepatan bola tersebut pada arah $x$ bersifat konstan, sehingga dapat kita tuliskan.

   $$v_{x} (t) = v_0 \cos \theta_0 \tag{6}\label{eq6}$$

Jarak yang ditempuh bola tersebut pada arah $x$ dinyatakan

  $$x(t) = \int v_0x dt $$

  $$x(t)=  v_0 \cos \theta_0  t  + x_0\tag{7}\label{eq7} $$

dengan $x_0=$ posisi awal benda (misalnya diambil $x_0=0$)


Misal mula-mula bola tersebut ditembakkan dari $x_0=0, y_0=0$. Sebagaimana dijelaskan di atas, setelah $t=2t_{H}$, bola tersebut akan kembali ke $y=0$, sementara pada arah $x$ akan dicapai jarak maksimum yaitu:

  $$x_{\text{max}} = v_x (2t_ {H})$$

Substitusikan persamaan \eqref{eq3} ke persamaan  \eqref{eq7},

  $$ \begin{align}
x_{\text{max}} &= v_0 \cos \theta_0 \, \left( \frac{2v_0 \sin \theta_0}{g} \right)\\
\\
&=\frac{{v_0}^2 \, 2\sin \theta_0 \cos \theta_0}{g}
\end{align}$$

  $$\frac{{v_0}^2 \, \sin 2\theta_0}{g}  \tag{8}\label{eq8}$$


Di sini kita menggunakan $2\sin \theta_0 \cos \theta_0 = \sin 2 \theta_0$


Gerak Parabola

Selain dari gambar di atas, kita belum menunjukkan mengapa gerak dalam bentuk di atas disebut dengan gerak parabola dalam relasi koordinat $x$ dan $y$. Kita ingat bahwa persamaan parabola terbuka ke arah sumbu-$y$ dapat dinyatakan dalam bentuk fungsi kuadrat:

 $$y=ax^2+bx+c$$


Dari persamaan \eqref{eq7}:

 $$x(t)=  v_0 \cos \theta_0  t  + x_0$$

 $$\rightarrow t= \frac{x - x_0}{ v_0 \cos \theta_0}$$


Substitusikan hasil ini ke persamaan \eqref{eq4}:

  $$\begin{align}
y &= (v_0 \sin \theta_0) t -\frac{1}{2} gt^2  + y_0 \\
\\
&= (v_0 \sin \theta_0) \left( \frac{x - x_0}{ v_0 \cos \theta_0} \right) -\frac{1}{2} g\left( \frac{x - x_0}{ v_0 \cos \theta_0} \right)^2  + y_0\\
\\
&=\tan \theta_0 (x-x_0)- \frac{g}{2( v_0 \cos \theta_0)^2} (x-x_0)^2 +y_0
\end{align} $$


Kita peroleh:

 $$ y = \left( -\frac{g}{2\, v_0^2 \cos^2 \theta_0}\right)(x-x_0)^2 + \tan \theta_0 (x-x_0)  + y_0 \tag{9}\label{eq9}$$


Sebagai contoh, ambil:

 $$v_0=10\, \pu{m/s}$$,

 $$y_0 = 0,\, x_0=0$$,

 $$\theta_0 = 45° \rightarrow  \tan 45°=1$$ dan $$\cos 45° = \dfrac {\sqrt 2}{2}$$.

 $$g=10\,\pu{m/s^2}$$.


Substitusikan nilai ini ke persamaan  \eqref{eq9}, kita peroleh:


 $$\begin{align}
 y &= \left( -\dfrac{10}{2\, 10^2 \left( \dfrac {\sqrt 2}{2} \right)^2}\right)x^2 + x
\\
\\
&= \dfrac{-x^2}{10} + x
\end{align}$$


Kita plot hasil di atas dari $t=0$ sampai $t=10\ \pu{s}$, hasilnya ditunjukkan oleh gambar berikut:
 
Parabola1Tr.png 42.4 KB







Kontributor:  Dr. Muhammad Rizqie Arbie (Fisika - ITB) 

Kurator:  Dr. Muhammad Fakhrul Rozi Ashadi (schoolpad.id)



Materi terkait

[1]   Gerak 1 dimensi dibawah pengaruh gravitasi
[2]   Aplikasi Turunan: Maksimum-Minimum



Problem set terkait

[1] Problem Set 1