$\mathbf{\text{Distribusi Binomial}}$ 

Distribusi Binomial adalah distribusi probabilitas diskrit yang memodelkan jumlah keberhasilan dalam $n$ percobaan Bernoulli independen, dengan probabilitas keberhasilan $p$ pada setiap percobaan. 


$\mathbf{\text{Rumus dan Parameter}}$ 

Percobaan Bernoulli: sukses (dengan probabilitas $p$) atau gagal (dengan probabilitas $1-p$). 

Parameter: 
- $n$: jumlah percobaan 
- $p$: probabilitas sukses pada tiap percobaan 

Fungsi probabilitas (pmf): 

$$P(X=k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k},k=0,1,\dots ,n.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 1 (Mudah)}}$ 

Soal: Dalam 5 kali lemparan koin fair, tentukan probabilitas tepat 2 sisi gambar. 

Solusi:  

$n=5$, $p=0.5$, $k=2$ 

$$P(X=2)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2})(0.5{)}^2(0.5{)}^3=10\times 0.25\times 0.125=0.3125.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 2 (Sedang)}}$ 

Soal: Dari 10 pertanyaan pilihan ganda (4 opsi, 1 jawaban benar), seseorang memilih secara acak. Berapakah probabilitas mendapatkan tepat 3 jawaban benar ($p=0.25$)? 

Solusi:  

$n=10$, $p=0.25$, $k=3$ 

$$P(X=3)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{3})(0.25{)}^3(0.75{)}^7=120\times 0.015625\times 0.1334839\approx 0.251.$$ 


$\mathbf{\text{Contoh Soal 3 (Sulit)}}$ 

Soal: Sebuah lampu memiliki tingkat kegagalan 2% di setiap uji coba.  Jika diuji pada 200 lampu, berapa probabilitas paling banyak 5 lampu gagal? 

Solusi: 

$n=200$, $p=0.02$ 

$$P(X\le 5)=\sum _{k=0}^5(\genfrac{}{}{0ex}{}{200}{k})(0.02{)}^k(0.98{)}^{200-k}.$$ 

(Perhitungan numerik dapat menggunakan tabel binomial atau perangkat lunak statistik.)


$\mathbf{\text{Contoh Soal 4 (Menantang)}}$ 

Soal: Dalam kampanye pemasaran, konversi iklan adalah 1%.  Jika 1000 iklan ditayangkan, tentukan probabilitas tidak lebih dari 2 konversi. 

Solusi: 

$n=1000$, $p=0.01$  

$$P(X\le 2)=\sum _{k=0}^2(\genfrac{}{}{0ex}{}{1000}{k})(0.01{)}^k(0.99{)}^{1000-k}.$$  

Pendekatan Poisson dengan $\lambda =np=10$ memberikan aproksimasi:

$$P(X\le 2)\approx \sum _{k=0}^2\frac{{10}^k{e}^{-10}}{k!}.$$