$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Deret Binomial}}$
Deret Binomial menggeneralisasi ekspansi $(1+x)^n$ untuk semua bilangan rasional $n$, dengan syarat $|x|<1$.
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Deret Binomial Umum}}$
$$
(1 + x)^n
= 1
+ n\,x
+ \frac{n(n-1)}{2!}\,x^2
+ \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\,x^3
+ \dots
+ \frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}\,x^r
+ \dots
$$
dengan $|x|<1$ dan koefisien umum
$$
\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}.
$$
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Kasus Finite ($n\in\mathbb{N}$)}}$
Jika $n$ adalah bilangan bulat non‐negatif, deret di atas berhenti pada $r=n$, dan kita memperoleh formula kombinasi:
$$
(1 + x)^n
= \sum_{r=0}^{n} \binom{n}{r}\,x^r.
$$
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Ekspansi $(1 - x)^n$}}$
Gantilah $x\to -x$:
$$
(1 - x)^n
= 1
- n\,x
+ \frac{n(n-1)}{2!}\,x^2
- \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\,x^3
+ \dots
$$
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Spesial: $n=-1,-2,-k$}}$
$$
(1 + x)^{-1} = 1 - x + x^2 - x^3 + \dots,
$$
$$
(1 + x)^{-2} = 1 - 2x + 3x^2 - 4x^3 + \dots,
\quad
(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + 4x^3 + \dots,
$$
$$
(1 - x)^{-k} = 1 + k\,x + \frac{k(k+1)}{2!}x^2 + \frac{k(k+1)(k+2)}{3!}x^3 + \dots.
$$
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Kasus Rasional: $n=-\tfrac{p}{q}$}}$
Jika $n=-\tfrac{p}{q}$ dan $|x|<1$, maka
$$
(1 - x)^{-\tfrac{p}{q}}
= 1
+ \frac{p}{q}\,x
+ \frac{p(p+q)}{2!\,q^2}\,x^2
+ \frac{p(p+q)(p+2q)}{3!\,q^3}\,x^3
+ \dots.
$$
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Aplikasi 1: Aproksimasi $(1.03)^{1/4}$}}$
Ambil $x=0.03$, $n=\tfrac14$, maka
$$
(1.03)^{1/4}
= (1 + 0.03)^{1/4}
= 1
+ \tfrac{1}{4}(0.03)
+ \frac{\tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{4}-1)}{2!}(0.03)^2
+ \frac{\tfrac{1}{4}(\tfrac{1}{4}-1)(\tfrac{1}{4}-2)}{3!}(0.03)^3
+ \dots
$$
Mengambil hingga suku ke-4 memberikan nilai sekitar $1.007$.
$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Aplikasi 2: Menentukan $a,n$}}$
Jika
$$
(1 + a\,x)^n = 1 + 8x + 24x^2 + \dots,
$$
maka dengan suku umum
$$
1 + n\,a\,x + \frac{n(n-1)}{2!}a^2\,x^2 + \dots
= 1 + 8x + 24x^2 + \dots
$$
menyusul
$$
n\,a = 8,
\quad
\frac{n(n-1)}{2}a^2 = 24.
$$
Penyelesaian: $n=4$, $a=2$.