$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Bayes’ Theorem}}$ 

Bayes’ Theorem (Formula Bayes) menyatakan bahwa untuk dua peristiwa $A$ dan $B$ dengan $P(B)>0$:

$$
P(A\mid B)
= \frac{P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}.
$$

Jika $B$ dapat terjadi melalui beberapa hipotesis saling eksklusif $H_i$, maka

$$
P(H_k\mid B)
= \frac{P(B\mid H_k)\,P(H_k)}
       {\sum_i P(B\mid H_i)\,P(H_i)}.
$$


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 1}}$ 

Soal: Kita memiliki dua kotak. Kotak A berisi 2 bola merah dan 3 bola biru. Kotak B berisi 1 bola merah dan 4 bola biru. Pilih kotak secara acak (masing‐masing 50%), lalu ambil satu bola yang ternyata merah.  Hitung probabilitas bola berasal dari Kotak A. 


Solusi: 

$$
P(A\mid \text{Merah})
= \frac{P(\text{Merah}\mid A)\,P(A)}
       {P(\text{Merah}\mid A)P(A) + P(\text{Merah}\mid B)P(B)}
$$

$$
= \frac{\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{2}}
       {\tfrac{2}{5}\cdot\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{5}\cdot\tfrac{1}{2}}
= \frac{\tfrac{2}{10}}{\tfrac{2}{10} + \tfrac{1}{10}}
= \frac{2}{3}.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 2}}$ 

Soal: Sebuah tes COVID-19 memiliki sensitivitas 90% dan spesifisitas 95%. Prevalensi (prabayar) infeksi di populasi adalah 5%. Jika seseorang dites positif, berapakah probabilitas ia benar‐benar terinfeksi? 


Solusi: 

Masukkan nilai: 

$P(+\mid D)=0.90,\;P(D)=0.05,\;P(+\mid \neg D)=1-0.95=0.05,\;P(\neg D)=0.95$. 

$$
P(D\mid +)
= \frac{0.90\times0.05}{0.90\times0.05 + 0.05\times0.95}
= \frac{0.045}{0.045 + 0.0475}
= \frac{0.045}{0.0925}
\approx 0.486.
$$ 

Jadi probabilitas sebenarnya sekitar 48.6%. 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 3}}$ 

Soal: Dua pabrik memproduksi suku cadang. Pabrik X menyumbang 60\% produksi dengan tingkat cacat 2%. Pabrik Y menyumbang 40% produksi dengan tingkat cacat 5%. Jika suku cadang terpilih secara acak ternyata cacat, berapakah probabilitas itu berasal dari Pabrik X? 


Solusi: 

$$
P(X\mid \text{Cacat})
= \frac{P(\text{Cacat}\mid X)\,P(X)}
       {P(\text{Cacat}\mid X)P(X) + P(\text{Cacat}\mid Y)P(Y)}
$$

$$
= \frac{0.02\cdot0.60}{0.02\cdot0.60 + 0.05\cdot0.40}
= \frac{0.012}{0.012 + 0.020}
= \frac{0.012}{0.032}
= 0.375.
$$ 


$\textcolor{ForestGreen}{\textbf{Contoh Soal 4}}$ 

Soal: Dalam penyaringan email, probabilitas sebuah email termasuk spam adalah 20%. Peluang kata “offer” muncul di email spam 70%, dan di email bukan spam 10%. Jika sebuah email mengandung kata “offer”, berapakah probabilitas email tersebut spam? 


Solusi: 

Masukkan nilai:  

$P(\text{Spam})=0.20,\;P(\neg\text{Spam})=0.80,$  

$P(\text{“offer”}\mid \text{Spam})=0.70,\;P(\text{“offer”}\mid \neg\text{Spam})=0.10$.  

$$
P(\text{Spam}\mid \text{“offer”})
= \frac{0.70\cdot0.20}{0.70\cdot0.20 + 0.10\cdot0.80}
= \frac{0.14}{0.14 + 0.08}
= \frac{0.14}{0.22}
\approx 0.636.
$$  

Jadi sekitar 63.6% email tersebut adalah spam.